自由落下（重力と抗力）２

study memo

今回は，重力 > 抗力とし，抗力は速度の二乗にに比例するものとしています．
物体の質量：m，重力加速度：g，k：比例定数としています．
１：時間tのときの速度vを求める場合
運動方程式：
m\frac{dv}{dt} = mg - kv^{2}
両辺をmで割る：
\frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v^{2}
両辺にdtをかける：
dv = (g - \frac{k}{m}v^{2})dt
両辺をg-kv^2/mで割る：
\frac{1}{g - \frac{k}{m}v^{2}}dv = dt
両辺を積分する：
\Bigint \frac{1}{g - \frac{k}{m}v^{2}}dv = \Bigint dt
ここで，
\frac{1}{g - \frac{k}{m}v^{2}} = \frac{1}{\sqrt{g}^{2} - (\sqrt{\frac{k}{m}}v)^{2}} = \frac{1}{(\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v)(\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v)} = \frac{\{(\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v) + (\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v)\}}{(\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v) (\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v)} \frac{1}{2\sqrt{g}}
\frac{\{(\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v) + (\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v)\}}{(\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v) (\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v)} \frac{1}{2\sqrt{g}} = (\frac{1}{\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v} + \frac{1}{\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v}) \frac{1}{2\sqrt{g}}
であるので，
\Bigint \frac{1}{g - \frac{k}{m}v^{2}}dv = \Bigint \frac{1}{2\sqrt{g}}(\frac{1}{\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v} + \frac{1}{\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v})dv = \Bigint dt
となる．
よって，
\Bigint \frac{1}{2\sqrt{g}}(\frac{1}{\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v} + \frac{1}{\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v})dv = \Bigint dt
\Bigint (\frac{1}{\sqrt{g} + \sqrt{\frac{k}{m}}v} + \frac{1}{\sqrt{g} - \sqrt{\frac{k}{m}}v})dv = \Bigint 2\sqrt{g}dt
\sqrt{\frac{m}{k}}\log(\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{k}{m}}v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{k}{m}}v}) = 2\sqrt{g}t - C_{1}
C1：積分定数
両辺に-√(k/m)をかける：
-\log(\frac{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{k}{m}}v}{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{k}{m}}v}) = -2\sqrt{\frac{kg}{m}}t + \sqrt{\frac{k}{m}}C_{1}
\log(\frac{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{k}{m}}v}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{k}{m}}v}) = -2\sqrt{\frac{kg}{m}}t + \sqrt{\frac{k}{m}}C_{1}
\frac{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{k}{m}}v}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{k}{m}}v} = e^{(-2\sqrt{\frac{kg}{m}}t + \sqrt{\frac{k}{m}}C_{1})}
\frac{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{k}{m}}v}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{k}{m}}v} = e^{-2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}e^{\sqrt{\frac{k}{m}}C_{1}}
e^{\sqrt{\frac{k}{m}}C_{1}} = C_{2}とする．
\frac{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{k}{m}}v}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{k}{m}}v} = C_{2}e^{-2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}
C_{2}e^{-2\sqrt{\frac{kg}{m}}t} = C_{3}とし．式変換を行う．
\frac{\sqrt{g}-\sqrt{\frac{k}{m}}v}{\sqrt{g}+\sqrt{\frac{k}{m}}v} = C_{3}
\sqrt{g}-\sqrt{\frac{k}{m}}v = C_{3}(\sqrt{g}+\sqrt{\frac{k}{m}}v)
\sqrt{g}-\sqrt{\frac{k}{m}}v = C_{3}\sqrt{g}+C_{3}\sqrt{\frac{k}{m}}v
-\sqrt{\frac{k}{m}}v - C_{3}\sqrt{\frac{k}{m}}v = -\sqrt{g} + C_{3}\sqrt{g}
\sqrt{\frac{k}{m}}v + C_{3}\sqrt{\frac{k}{m}}v = \sqrt{g} - C_{3}\sqrt{g}
\sqrt{\frac{k}{m}}v(1 + C_{3}) = \sqrt{g}(1 - C_{3})
v = \sqrt{\frac{mg}{k}}\frac{1 - C_{3}}{1 + C_{3}}
v = \sqrt{\frac{mg}{k}}\frac{1 - C_{2}e^{-2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}}{1 + C_{2}e^{-2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}}
t=0のとき，v=0：
C_{2} = 1
よって，速度v：
v = \sqrt{\frac{mg}{k}}\frac{1 - e^{-2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}}{1 + e^{-2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}}
ここで，
\tanh{x} = \frac{\sinh{x}}{\cosh{x}}= \frac{\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}}{\frac{e^{x} + e^{-x}}{2}} = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} = \frac{1 - e^{-2x}}{1 + e^{-2x}}なので，
v = \sqrt{\frac{mg}{k}}\frac{1 - e^{-2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}}{1 + e^{-2\sqrt{\frac{kg}{m}}t}} = \sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh(\sqrt{\frac{kg}{m}}t)となる．
２：時間tのときの位置hを求める場合
速度vを時間tで積分する：
h = \Bigint vdt = \Bigint \sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh(\sqrt{\frac{kg}{m}}t)dt
\Bigint \sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh(\sqrt{\frac{kg}{m}}t)dt = \sqrt{\frac{mg}{k}}\sqrt{\frac{m}{kg}}\log{(\cosh{(\sqrt{\frac{kg}{m}}t}))} + C_{4}
C4：積分定数
t=0のとき，h=0：
C_{4} = 0
h = \sqrt{\frac{mg}{k}} \sqrt{\frac{m}{kg}}\log{(\cosh{(\sqrt{\frac{kg}{m}}t}))}