自由落下（重力と抗力）１

study memo

今回は，重力 > 抗力とし，抗力は速度に比例するものとしています．
物体の質量：m，重力加速度：g，k：比例定数としています．
１：時間tのときの速度vを求める場合
運動方程式：
m\frac{dv}{dt} = mg - kv
両辺をmで割る:
\frac{dv}{dt} = g - \frac{k}{m}v
両辺にdtをかける：
dv = (g - \frac{k}{m}v)dt
両辺をg-kv/mで割る：
\frac{1}{g - \frac{k}{m}v}dv = dt
両辺を積分する：
\Bigint \frac{1}{g - \frac{k}{m}v}dv = \Bigint dt
-\frac{m}{k}\log(g - \frac{k}{m}v) = t + C_{1}
C1：積分定数
両辺に-k/mをかける：
\log(g - \frac{k}{m}v) = -\frac{k}{m}t - \frac{k}{m}C_{1}
- \frac{k}{m}C_{1} = C_{2}とし，式変換を行う：
\log(g - \frac{k}{m}v) = -\frac{k}{m}t + C_{2}
g - \frac{k}{m}v = e^{(-\frac{k}{m}t + C_{2})}
g - \frac{k}{m}v = e^{-\frac{k}{m}t}e^{C_{2}}
- \frac{k}{m}v = -g + e^{-\frac{k}{m}t}e^{C_{2}}
v = \frac{m}{k}g - \frac{m}{k}e^{-\frac{k}{m}t}e^{C_{2}}
t=0のとき，v=0：
e^{C_{2}} = g
よって，速度v：
v = \frac{m}{k}g - \frac{m}{k}ge^{-\frac{k}{m}t}
v = \frac{m}{k}g(1 - e^{-\frac{k}{m}t})
２：時間tのときの位置hを求める場合
速度vを時間tで積分する：
h = \Bigint vdt = \Bigint \frac{m}{k}g(1 - e^{-\frac{k}{m}t})dt
\Bigint \frac{m}{k}g(1 - e^{-\frac{k}{m}t})dt = \frac{m}{k}g \Bigint (1 - e^{-\frac{k}{m}t})dt = \frac{m}{k}g \Bigint dt - \frac{m}{k}g \Bigint e^{-\frac{k}{m}t}dt
\frac{m}{k}g \Bigint dt - \frac{m}{k}g \Bigint e^{-\frac{k}{m}t}dt = \frac{m}{k}gt + \frac{m^{2}}{k^{2}}ge^{-\frac{k}{m}t} + C_{3}
C3：積分定数
t=0のとき，h=0：
C_{3} = -\frac{m^{2}}{k^{2}}g
h= \frac{m}{k}gt + \frac{m^{2}}{k^{2}}ge^{-\frac{k}{m}t} - \frac{m^{2}}{k^{2}}g
h= \frac{m}{k}gt + \frac{m^{2}}{k^{2}}g(e^{-\frac{k}{m}t} - 1)