自由落下（重力と浮力）

study memo

今回は，重力 > 浮力としています．
物体の質量：m，重力加速度：g，ρ：流体の密度，V：物体の体積としています．
１：時間tのときの速度vを求める場合
運動方程式：
m\frac{dv}{dt} = mg - \rho Vg
両辺をmで割る：
\frac{dv}{dt} = (1 - \frac{\rho V}{m})g
両辺にdtをかける：
dv = (1 - \frac{\rho V}{m})gdt
両辺を積分する：
\Bigint dv = \Bigint (1 - \frac{\rho V}{m})gdt
v = (1 - \frac{\rho V}{m})gt + C_{1}
C1：積分定数
t=0のとき，v=0：
C_{1} = 0
よって，速度v：
v = (1 - \frac{\rho V}{m})gt
２：時間tのときの位置hを求める場合
速度vを時間tで積分する：
h = \Bigint vdt = \Bigint (1 - \frac{\rho V}{m})gt
h = \frac{1}{2}(1 - \frac{\rho V}{m})gt^{2} + C_{2}
C2：積分定数
t=0のとき，h=0：
C_{2} = 0
よって，位置h：
h = \frac{1}{2}(1 - \frac{\rho V}{m})gt^{2}